Letra B

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO - As três medianas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto, o baricentro. Este ponto divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Uma lâmina triângular com densidade uniforme tem este ponto como centro de massa.

BASE - Sistema de numeração que indica quantas unidades são necessárias para mudar a colocação de um algarismo. A mais comum é a base 10 onde cada algarismo é múltiplo de 10. (exemplo: 156 = 1 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1).

BASE DE POTÊNCIAS - Nas potências denomina-se assim o número que se encontra na parte inferior e que indica o valor de cada fator.

BASE DE UM TRIÂNGULO - É conveniente considerar um dos lados do triângulo como sendo sua base. A distância entre a base e o vértice oposto à base é a altura do triângulo.

BIJEÇÃO - Relação onde cada elemento corresponde um e somente um elemento.

BILHÃO - 109 = 1000000000. Número 1 seguido de 9 zeros.

BINÔMIO - Polinômio constituído por 2 monômios. Ex.: 4x³ - 3.

BISSETRIZ - É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.

BIQUADRADA - Equação do tipo ax4 + bx2 +c = 0.

BIUNÍVOCA - Correspondência de cada objeto a um único objeto. Por exemplo, uma pessoa para cada carteira de identidade.

BLOCO RETANGULAR - É a forma geométrica de vários tipos de caixas, tais como caixas de sapatos ou de pasta de dente. Cada bloco retangular é formado por seis faces com forma de retângulo.

BLOCOS LÓGICOS - Blocos utilizados em atividades didáticas de classificação e seriação gráfica. Tais objetos normalmente são coloridos e têm formas distintas.

BRAÇA - Antiga unidade de comprimento equivalente a 2,2 metros. No sistema inglês a braça equivale a 1,8 metros.

Jogo da Forca

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Simon Stevin

Simon Stevin foi um matemático flamengo, que nasceu em 1548 e morreu em 1620. Foi como coletor de impostos que Simon Stevin iniciou sua carreira profissional, mas preferiu, mais tarde, ingressar na Universidade de Leiden.

Pode-se dizer que o estudo da hidrostática teve início com Stevin. Foi ele quem demonstrou que a pressão que um líquido exerce sobre uma superfície depende apenas da altura da coluna do líquido e da área da superfície, não importando o tamanho ou a forma do recipiente. Ele foi também o primeiro a constatar que dois corpos de pesos diferentes, ao serem soltos ao mesmo tempo, chegam ao solo simultaneamente. (Essa experiência costuma ser atribuída a Galileu que, no entanto, apenas a analisou melhor.)

Stevin dedicou-se ainda a diversas outras áreas do conhecimento: calculou a declinação magnética (diferença angular entre o pólo norte magnético e o pólo norte geográfico) em diversos locais; demonstrou geometricamente a impossibilidade de funcionamento de um moto-perpétuo (dispositivo mecânico que se acreditava poder trabalhar infinitivamente sem requerer energia); traduziu obras gregas; além disso, projetou o primeiro veículo com tração dianteira: uma carroça movida a vela.

Como matemático, Stevin criou uma notação para a escrita dos números decimais fracionários, que posteriormente resultou no uso vírgula. Não se conhece a data exata da morte de Stevin. Consta apenas que se casou consiravelmente tarde, com 64 anos de idade, e que deixou quatro filhos.

Blaise Pascal

Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris.

O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.

Aos 14 anos, Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cônicas", no qual trabalhou durante 3 anos

Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtração, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652.

Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus.

Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluídos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, de forma a que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulicos.

Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci.

Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.

Leonhard Euler

Leonhard Euler, nasceu em 15 de abril de 1707, e morreu em 18 de setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800.

Em matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática; refinou a noção de uma FUNÇÃO; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o símbolo do pi e o símbolo do sigma; e pôs a fundação para a teoria de funções especiais, introduzindo as FUNÇÕES TRANSCEDENTAIS beta e gamma.

Euler também trabalhou nas origens do CÁLCULO DE VARIAÇÕES, mas reteve o seu trabalho em deferência para LAGRANGE. Ele foi um pioneiro no campo da TOPOLOGIA e fez TEORIA do NÚMERO em uma ciência, declarando o teorema do número primo e a lei da reciprocidade biquadrática. Em Física, ele articulou dinâmica Newtoniana e colocou a fundação de mecânica analítica, especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos (1765). Como seu professor Johann Bernoulli, ele elaborou mecânica contínua, mas ele também trabalhou com a teoria cinética de gases com o modelo molecular. Com Alexis CLAIRAUT ele estudou a teoria lunar. Ele também fez pesquisa fundamental em elasticidade, acústica, a teoria de onda de luz, e o hidromecânica de navios.

Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos dele e o enviou para a Universidade de Basel para prepará-lo para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727. Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730. Ele se tornou o professor de Física na academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando ele casou e deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro Mechanica (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.

Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante 25 anos. Em 1744 ele se tornou o diretor da seção de matemática da academia. Durante a permanência dele em Berlim, ele escreveu mais de 200 artigos, três livros em análise matemática, e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3 vols., 1768-72). Em 1755 ele foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira ele recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catherine a Grande fazer-lhe uma oferta generosa. Na ocasião, Euler estava tendo diferenças com Frederick o Grande em cima da liberdade acadêmica e outros assuntos. Frederick ficou enfurecido na partida dele e foi convidado Lagrange a substitui-lo. Na Rússia, Euler se tornou quase completamente cego depois de uma operação de catarata, mas pôde continuar com sua pesquisa e escrevendo. Ele teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados em óticas, álgebra, e movimento lunar. Em sua morte em 1783, ele deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de St.Petersburg continuou a publicá-los durante os próximos 50 anos.

Letra A

ÁBACO – Instrumento para contagem e cálculo. Calculadora com várias hastes de metal, sustentando bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar operações matemáticas.


ABSCISSA - Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional.

ADIÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada para adicionar um número a outro.

ALFA () - Primeira letra do alfabeto grego.

ALGARISMO - Símbolos utilizados para representação de números. Em nosso sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

ALGORITMO - Um conjunto de regras necessárias à resolução de um problema ou cálculo.

ALÍQUOTA - Percentual com que determinado tributo incide sobre o valor do objeto tributado.

ALTURA - Dimensão de um corpo considerado verticalmente, da base ao topo.

AMOSTRA - Um conjunto escolhido para representar uma coleção ou população.

AMPLITUDE DE UM INTERVALO - É a diferença entre o extremo superior e o inferior do intervalo. Também chamada de diâmetro do intervalo.

ÂNGULO - Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).

ÂNGULO ADJACENTE - Ângulo com um vértice e um lado comum. Os ângulos GED e DEF são adjascentes.

ÂNGULO AGUDO - Ângulo que mede menos que 90º e mais que 0º.

ÂNGULO OBTUSO - Ângulo que mede mais que 90º e menos que 180 graus.

ÂNGULO RASO - Ângulo que mede exatamente 180º.

ÂNGULO RETO - Ângulo que mede exatamente 90º.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES - Ângulos cuja soma é igual a 90º.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES - Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é de 180º.

ANEL (Geometria) - Porção de plano delimitada por duas circunferências com o mesmo centro.

ANO - Período de tempo que compreende 365 dias, salvo o ano bissexto, que tem 366 dias.

APÓTEMA - Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir do centro do mesmo.

APROXIMAÇÃO - Valor obtido por arredondamento de uma medida. Exemplo: Se arredondarmos o número 6,851 teríamos 6,85.

ARC COS - A função inversa de cosseno. Se y = cos x, então x = arc cos y.

ARC COTG - A função inversa da cotangente. Se y = cotg x, então x = arc cotg y.

ARCO DE CURVA - Parte de uma curva situada entre dois pontos quaisquer da curva. Se A e B são dois pontos quaisquer de uma circunferência, existem dois arcos AB, estes arcos são de comprimentos diferentes se A e B não são pontos extremos do diâmetro, o maior é designado arco maior e o outro, arco menor.

ARC SEN - A função inversa do seno. Se y = sen x, então x = arc sen y.

ARC TG - A função inversa da tangente. Se y = tg x, então x = arc tg y.

ÁREA - Medida de uma superfície.

ARESTA - A interseção de duas faces de um sólido. No desenho em anexo, é o segmento de reta que representa a interseção de duas faces.

ARITMÉTICA - Parte da Matemática que estuda números e operações.

ARREDONDAR - Fazer uma aproximação do valor de um número.

ASSOCIATIVA - Lei que permite reagrupar os termos de uma adição ou multiplicação sem alterar o resultado. A multiplicação e a adição são operações associativas.
(A+B)+C = A+(B+C)(A×B)×C = A×(B×C)

ATRIBUTO - Uma qualidade ou característica de um objeto matemático.

AUTOMORFISMO - Isomorfismo que tranforma uma figura em si mesmo.

AVOS - Nomeia frações de denominadores maiores que 10, mas diferentes de 100, 1000, etc.

AXIOMA - Proposição aceita como sendo verdade inicial não sendo demonstrável pela sua evidência.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução:
Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução:
Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução:
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução:
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Tabuada de 9 com os dedos

Esta é uma maneira simples de efetuarmos multiplicações (de 1 a 10) por 9.

Devemos considerar os dedos contando da esquerda para a direita e numerando-os seqüencialmente de 1 a 10.

Então, basta baixarmos o dedo correspondente ao número que queremos multiplicar por 9, e teremos o resultado.

Por exemplo: 4x9.

Baixamos o dedo correspondente ao numero 4.

Repare que ficaram 3 dedos do lado esquerdo e 6 dedos do lado direito do dedo baixado.

Agora é só unir o 3 e o 6, ou seja, o resultado é 36.

Quais são os quadrados perfeitos?

Começando do zero, some a seqüência de ímpares e a resposta será um quadrado perfeito.

Ex: Começando do 0, somamos o primeiro número ímpar positivo, o 1. Encontramos o quadrado perfeito 1.
Agora somamos o próximo número ímpar, o 3. E assim sucessivamente.

0 + 1 = 1
1+ 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 7 = 16
16 + 9 = 25
25 + 11 = 36
36 + 13 = 49

Gosta de Chocolate? Então sua idade é...!

Como que pela vontade de comer chocolate é possível chegar à idade da pessoa?
Isto é matemágica?

1. Quantas vezes por semana te dá desejo de comer chocolate? (deve ser um número mais
que 0 vez e menos de 10 vezes);

2. Multiplica este número por 2;

3. Adicione 5;

4. Multiplica o resultado por 50;

5. Se já fez aniversario em 2008 soma 1758.
Se ainda não fez aniversário este ano soma 1757;

6. Agora diminua o ano em que nasceste (número de quatro dígitos);

7. O resultado é um número de três dígitos. O primeiro dígito é o número de vezes
que te apetece comer chocolate por semana. Os dois números seguintes é tua
idade!

(Sim! Tua idade!).

Coincidência com a "noite"

Em diversos idiomas europeus, a palavra "noite" assemelha-se à junção da letra "n" com o número 8.

Veja alguns exemplos:

Português: noite = n + oito

Inglês: night = n + eight

Alemão: nacht = n + acht

Espanhol: noche = n + ocho

Francês: nuit = n + huit

Italiano: notte = n + otto

Pérola da raiz

Pérola da expansão

Pérola do limite

Pérola do x

Arte & Matemática

Esta série de 13 programas é uma viagem não linear em barco de duas quilhas: uma é a Arte, a outra a Matemática, interligadas por uma estrutura segura, a Estética.

Em todas as épocas, os homens observam a Natureza e procuraram respostas para as suas perguntas. Alguns chegaram à música, outros desenvolveram as esculturas. A harmonia foi contraposta ao caos. Alguns perceberam a regularidade a natureza, outros se encontraram como o inesperado.

Os programas partem da certeza de que a Arte e a Matemática são expressões do conhecimento, e que são linguagens utilizadas para registrar o que os homens viram e aprenderam sobre os mistérios da vida. Artistas e matemáticos são privilegiados leitores da Natureza.

A série Arte & Matemática não faz uma leitura linear da história. Ela investiga épocas diferentes, buscando e comparando conceitos semelhantes. É um passeio por espaços do conhecimento pouco visitados que induzem o espectador a novas relações e novas reflexões.
É uma viagem com paradas em alguma estações do espaço-tempo, da ciência, beleza, Arte & Matemática.


O Público
Esta série se destina ao público jovem e adulto, interessado em conhecer as fronteiras e a simbiose entre as diversas formas de conhecimento humano, especialmente entre a Arte, a Matemática e a Ciência. É particularmente útil para educadores que pretendem se aproximar com prazer e sem preconceitos, dos universos matemáticos e artísticos.


O Site
A partir da estréia, dia 14 de novembro, no endereço eletrônico www.tvcultura.com.br/artematematica pode-se encontrar informações que complementam a série, e que estão assim ordenadas: sinopses de todos os programas; diagrama de conceitos e suas conexões com os demais assuntos abordados na série; relação completa de todas as obras artísticas e científicas e seus respectivos autores, apresentados ao longo dos 13 programas; jogos interativos que ilustram os conceitos veiculados ma série; trechos inéditos dos depoimentos dos artistas, matemáticos e cientistas que colaboraram nos programas; e uma área cultural, preparada pelo Itaú Cultural, na qual os professores poderão encontrar orientações para melhor aproveitamento de cada programa da série em suas aulas.

A Parceria
Arte & Matemática é uma parceria da TV Cultura, da Fundação Padre Anchieta, com a TV Escola, da Secretaria de Educação a Distância do Ministério da Educação. artematematica@tvcultura.com.br

2 é igual a 1???

2 é igual a 1???

Vamos verificar:

Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero. Suponhamos que a=b.
Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos:
a2=ab

Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos:
a2-b2=ab-b2

Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo:
(a+b)(a-b)=ab-b2

Colocando b em evidência do lado direito temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)

Dividindo ambos os lados por (a-b) temos:
a+b=b

Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b:
b+b=b

Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão:
2=1

ERRO:
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)
Segundo a demonstração, a próxima etapa seria:
Dividimos ambos os lados por (a-b).
Aí está o erro!!!
No início supomos que a=b, portanto temos que a-b=0.

Para a/b com a diferente de zero a Divisão por zero não existe!!!

MATEMÁTICA E AS PROFISSÕES

A Matemática faz parte de quase todas as profissões. Confira as aplicações da Matemática em algumas das profissões mais tradicionais.

Administração
A administração requer muito planejamento, organização e controle. Portanto, é indispensável que o administador tenha habilidade em lidar com números. Muitas vezes ele deverá preparar orçamentos para projetos, planejar e controlar pesquisas, além de resolver situações que envolvam cálculos estatísticos. O trabalho do administrador está diretamente ligado com a exatidão dos números, e por isso ele precisa ter domínio da matemática para ser bem sucedido.

Agronomia
Cálculo dos componentes químicos destinados à fertilização e dimensionamento das áreas a serem cultivadas.

Arquitetura
A matemática é fundamental para que o arquiteto possa desenvolver o seu trabalho. O arquiteto trabalha na construção de casas, edifícios, reformas, restaurações e no planejamento de bairros e cidades. A arquitetura é uma união das áreas de exatas, humanas e arte, pois exige aptidões múltiplas, como o domínio de cálculos, desenhos intuitivos e história.

Cinema
Muitas animações que vemos no cinema utilizam a Matemática, através da computação gráfica. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.

Direito
O profissional do Direito utiliza a Matemática quando trabalha com causas que envolvam a realização de cálculos, como por exemplo bens, valores, partilhas e heranças.

Engenharia
A matemática é imprescindível à formação dos engenheiros, seja qual for o seu ramo (engenharia civil, engenharia elétrica etc). É usada na construção de edifícios, estradas, túneis, metrôs, ferrovias, barragens, portos, aeroportos, usinas, sistemas de telecomunicações, criação de dispositivos mecânicos, desenvolvimento de máquinas, entre outros.

Geologia
O geólogo utiliza diversos princípios da Matemática para escavar, conhecer e avaliar os segredos do solo e das pedras.

Jornalismo
A Matemática é útil aos jornalistas de economia e política, além daqueles que utilizam dados estatísticos em seus trabalhos.

Odontologia
O dentista utiliza a Matemática para calcular composições de amálgamas, posologias, doses de anestésicos e também para dimensionar próteses e aparelhos corretivos.

Psicologia
O psicólogo utiliza a Matemática para a análise de dados estatísticos e avaliação de testes.

O medo do goleiro diante do pênalti*

O medo do goleiro diante do pênalti*
Marina Ramalho, Ciência Hoje on-line, 18/06/02

Ângulo dos ombros e da perna de apoio do batedor permitiria prever direção do chute.

Em fase eliminatória de Copa do Mundo, quando o futuro de uma seleção pode ser decidido nos pênaltis, os técnicos deveriam ficar atentos para um estudo desenvolvido na Universidade de Greenwich (Inglaterra): cientistas descobriram que o goleiro pode prever a direção da bola na cobrança de pênalti se observar o ângulo dos ombros e da perna de apoio do batedor em relação ao chão. Os pesquisadores acreditam ser possível treinar goleiros para reconhecer esses indicativos e melhorar seu desempenho.

Quando um pênalti é cobrado, goleiros costumam observar a posição do corpo e a direção dos olhos do jogador para tentar adivinhar o lado em que a bola será lançada. Essas pistas, porém, podem ser disfarçadas pelo atleta e confundir o goleiro. O objetivo dos pesquisadores Al-Amin Kassam e Mark Goss-Sampson, especialistas em análise do movimento, era descobrir se a posição de alguma parte do corpo do batedor de pênalti estava relacionada à direção do chute.

Para isso, uma filmadora foi colocada atrás de um gol vazio, na altura dos olhos de um goleiro de estatura média e com a lente ajustada para simular a visão desse jogador. A câmera filmou 46 cobranças de pênaltis de um atleta do time inglês West Ham. O filme foi transferido para o computador e submetido a um software de análise de movimento. O programa mediu os ângulos da perna de apoio, do ombro, da bacia, dos pés e do tronco do jogador, durante sua corrida e imediatamente antes do chute.

A análise estatística permitiu concluir que apenas os ângulos do ombro e da perna de apoio em relação ao chão estão associados à direção do chute (ver figura). Essas medidas, no entanto, só permitem prever se a bola será lançada no centro, no lado direito ou esquerdo do gol.

"Nenhuma correlação foi observada entre os ângulos do corpo e a altura atingida pela bola", disse Goss-Sampson à CH On-line.

O estudo constatou que a bola atinge o centro do gol quando o ângulo médio da perna de apoio do atleta em relação ao chão é de 56,5º graus e o ângulo médio dos ombros é de 4,9º graus. Se o ângulo da perna aumentar para 65,5º e o ângulo dos ombros continuar em torno de 5º, a bola atingirá o lado direito da rede. Quando a bola vai na direção contrária, é o ângulo do ombro que varia (chega a 9,6º). Nesse caso o ângulo da perna fica em torno de 56,6º.

Dez goleiros assistiram ao filme analisado pelos pesquisadores. Os atletas tentaram adivinhar a direção da bola em cada um dos 46 chutes. O teste foi repetido depois que os cientistas instruíram os goleiros sobre os ângulos dos ombros e da perna de apoio do cobrador. A média de acertos aumentou em 9%. "Se um goleiro praticar intensivamente o reconhecimento dessas dicas, sua reação a essas pistas se tornará automática", acredita Al-Amin.

No entanto, resta a dúvida: será que o olho humano é capaz de detectar uma variação de ângulos tão pequena? De qualquer forma, fica o conselho dado por Al-Amin aos cobradores de pênaltis: "chutem a bola o mais rápido e forte possível, já que os goleiros terão menos tempo para analisar as dicas visuais".

* O medo do goleiro diante do pênalti é o título de um filme de 1971 do cineasta alemão Wim Wenders

Como estudar Matemática

"Matemática não se aprende passivamente." (ELON LAGES LIMA).



Não se deve deve estudar em um livro de matemática como se estivesse lendo um romance.

Também não faz qualquer sentido ler um texto de matemática marcando as passagens que você considera importantes.

Ler um livro de matemática é um processo ativo. Você tem que participar. Leia devagar, com cuidado e sabendo que uma grande parte dos detalhes é em geral omitida quando o livro é escrito.

Qualquer livro de matemática que contivesse todos os detalhes seria imenso e seria impossível de ser lido. É normal encontrar em livros de matemática frases do tipo "evidentemente" ou "é fácil ver que". Elas não significam que o que vem em seguida deve ser imediatamente entendido pelo leitor mas que neste ponto alguns detalhes foram suprimidos e que você deve usar papel e lápis para preencher estes detalhes que estão faltando.

Quando for estudar matemática tenha à mão lápis, papel de rascunho e borracha (não tenha medo de errar). Leia o texto com atenção e escreva (e não apenas leia) os exemplos que aparecem no livro. Faça você mesmo as contas. Invente seu próprios exemplos a respeito do que esta sendo explicado.

Matemática é uma das poucas ciências em que você não precisa acreditar no autor. Se você estiver lendo um livro de física você, em geral, não terá condições de realizar as experiências a que ele se refere. Se estiver lendo um livro de história você não terá acesso as fontes que o autor teve. Quando estiver lendo um livro de matemática você pode e deve verificar todas as afirmativas do autor.

Aula De Matemática

Aula De Matemática
Tom Jobim

Composição: Antonio Carlos Jobim / Marino Pinto

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

Capital, Juros (parte1)

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Soneto da Matemática

Se vive a vida inteira a contar
Somar e subtrair
Multiplicar e dividir
O resto é raciocinar.


Todos têm que entender
E aprender, as quatro operações
O resto são deduções
E as fórmulas saber remexer.


Por que tanta gente tem medo
Da matemática querer aprender
E dela dizer não gostar?


Creio que encontrei o segredo
O professor precisa entender
A razão está no jeito de ensinar.

Ser Matemática é...

Ser MATEMÁTICA é...
Resolver seus PROBLEMAS
Acabar com todos os COMPLEXOS
Saber a sua FUNÇÃO
E ser DETERMINANTE
Superar seu LIMITE
Seja qual for a VARIÁVEL
Ou a sua DERIVADA
Mas ter sempre a RAZÃO
Não ser um TERMO INDEPENDENTE
Estar sempre em CONJUNTO
Em busca de uma SOLUÇÃO.

Reflexões de um educador

Sabemos a escola é peça principal da engrenagem que forma a sociedade. Quem é esta sociedade? Somos todos nós. E as mudanças só acontecerão se os principais interessados se envolverem verdadeiramente motivados com o ideal de mudança de melhora. Geralmente esperamos a mudança parta do governo, do nosso colega, do nosso superior assim o acomodamento acontece.

È importante sabermos que o entusiasmar-se constante é força motriz para a que uma mudança real na escola. Então a partir do individual, o coletivo discutindo, dialogando, julgando, agindo, entusiasmando-se, mantendo uma atitude positiva diante da vida conseguiremos uma educação pública de qualidade.

Penso que é a partir do esforço individual que podemos diferenciar o coletivo. E a educação pública para alcançar um diferencial expressivo requer um esforço individual. Como isso pode ser realizado? É com um constante entusiasmar-se com a profissão.

É comum observarmos profissionais desmotivados em função de classes superlotadas, pelas dificuldades na estrutura física escolar, pela questão salarial, pelo cansaço de tanta luta e tão pouco valor recebido.

A tarefa do Educador é despertar e manter a força motivacional, consciência cultural, agindo para a formação de indivíduos críticos, sabedores de sua importância de homens no processo de transformação do mundo, capazes de analisar a realidade com tranqüilidade, objetividade, firmeza e justiça.

Sei que é difícil, é necessário muita luta, no entanto não podemos perder de vista que: Ou o homem luta ou perece, mas é preferível ser abatido ou ferido de que permanecer a margem da vida.

Registro aqui o meu carinho e respeito aos profissionais de Educação!

Ensino da Matemática

Uma medida devemos tomar
A metodologia do ensino da
Matemática devemos mudar
Em vez de ser uma mera transmissão de conteúdos
Devemos estimular, desenvolver e orientar
Para os alunos, assim educar.

Uma coisa é certa: o professor
Deve ser orientador de descobertas
O aluno deve ser participativo
Crítico e muito criativo
Construtor de seu conhecimento,
E não passivo seguidor de modelos.

O educador tem a função de fazer
Ajudar o aluno para que
Com o egocentrismo ele possa romper
Um conjunto os alunos devem formar
Para com os outros poder se relacionar.

Quando o domínio da liberdade
Da critica e da responsabilidade
Passar a construir a autonomia
O aluno irá adquirir.

Uma coisa devo contar
A avaliação não é forma de punição
É feita em função do aproveitamento
Do aluno que pode ou não
Na próxima fase passar.

A educação da matemática em qualquer didática
Não é imaginário, é natural, é inteiro é racional
Ou, seja, pertence ao conjunto dos reais, isso mesmo, é real.
Nunca perca o seu domínio
Apesar de parecer unitário
Sua função pode ir ao infinito
Isso se for bem compreendido.

Algarismo do olhar

Um dia por acaso
Dois olhos se encontraram
Três vezes piscaram
Quatro brilhos formaram
Cinco lágrimas derramaram
Seis sonhos sonharam
Sete maravilhas avistaram
Oito segundos pararam
Nove dias acabaram
Zero se tornaram.

Viver para sempre

Tenho certeza, assim com dois mais dois é quatro,
que nosso amor é infinito.
Como nas Exatas, o destino da gente é exato.
Convido você, meu amor, a resolver suas incógnitas,
pois sei que sou eu suas respostas. Já tenho as resoluções.
Sem você, minha vida é uma dízima,
inúmeros e números sem fim com as estrelas no céu.
Simplifico todos os nossos momentos até chegar a uma fração irredutível, o amor incondicional por ti.
Nossa matemática mexe com a química, a física quando a sós.
Neste momento somos o denominador comum da fração.
Contudo, nem no período da Pré-história seriam capazes
de contar em pedras o carinho e respeito que sentimos um pelo outro.
Peço amor, deixe para sempre eu ser sua tabuada. Mas por favor!
Nunca me subtraia.
Multiplique-me na sua vida, adicione nossos filhos e divida comigo a sua existência.
Seja para mim como a Matemática foi para ALBERT EINSTEIN - a descoberta da energia, minha energia de cada dia.

Conjuntos

Conjunto que estais na Matemática,
Seja união, os elementos que pertençam a um ou ao outro.
Seja intersecção que pertençam a um e ao outro.
A diferença, entre dois conjuntos, é quando pertence ao primeiro
e não pertence ao segundo.
Venha a nossa parte, assim como o primo par esta elevando ao
nº de elementos do conjunto.
Se assim o desejar, estarei a ensinar, como se faz.
E se permitirem, estarei no vale da memória quando a prova chegar,
e no seio do conhecimento quando eu precisar.
Assim é o conjunto, às vezes vazio, às vezes unitário ou às vezes infinito, não importa,
o importante é que saberei quando precisar.

MEC lança portal para professores

O Ministério da Educação (MEC) lança portal para professores.
O site terá recursos para preparação de aulas e Docente poderá baixar vídeos, animações e textos para ensino.
Link: http://portaldoprofessor.mec.gov.br

Resposta do "Vamos pensar um pouco..." nº 3

Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:

GUSTAVO sobe 2 degraus por vez

MARCOS sobe 1 degrau por vez.

Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou aotopo ele contou 28 degraus.

Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).Lembre-se que a escada está andando.

Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus.

O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). FEITO!

O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação:

28+X = (14+X)+(7+(X/2))28+X = 21+(3X/2)28-21 = (3X/2)-X7 = X/2X = 14

Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):

28+14 = 42 degraus

Contra comércio ilegal de livros

O Livro do Professor é encontrado facilmente em alguns sebos e livrarias do país apesar de não poder ser vendido, doado e nem reproduzido.

Para acabar com esta prática ilegal, a Associação Brasileira de Editores de Livros (Abrelivros) e a Associação Brasileira de Diretos Reprográficos (ABDR), com o apoio da Associação Nacional de Livrarias (ANL) e do Fórum Nacional Contra a Pirataria e a Ilegalidade (FNCP), iniciaram a campanha “Comércio do Livro do Professor é crime” , voltada principalmente para a conscientização da sociedade brasileira.

O Livro do Professor, encaminhado para análise e possível adoção pela escola, reúne metodologia, orientações gerais e respostas às perguntas e testes do livro a ser adotado em sala de aula. Por isso, deve ser usado única e exclusivamente pelo educador, como um instrumento de trabalho pessoal. Não é permitida a sua venda, reprodução, ou doação a terceiros, sob pena de ser caracterizada uma violação de direitos autorais.

O desvirtuamento do uso do Livro do Professor, além de configurar um crime, representa um problema didático, pois as respostas a perguntas e testes contidas no livro-texto serão divulgadas, principalmente, a alunos, o que dificultará tanto o trabalho do professor na sala de aula quanto a aprendizagem dos estudantes.

Assim, a campanha “Comércio do Livro do Professor é crime” tem como finalidade principal elevar o nível da educação no Brasil com o término da comercialização do Livro do Professor. Para facilitar a fiscalização foram criados os seguintes telefone e e-mail para informações e denúncias de compra ou venda deste material:

Telefone: 0800 7741444

E-mail: livrodoprofessor@abrelivros.org.br

Participe desta campanha e ajude a melhorar a educação em nosso país.

O Professor está sempre errado

Quando...

É jovem, não tem experiência.
É velho, está superado.

Não tem automóvel, é um coitado.
Tem automóvel, chora de "barriga cheia".

Fala em voz alta, vive gritando.
Fala em tom normal, ninguém escuta.

Não falta à aula, é um "Caxias".
Precisa faltar, é um "turista".

Conversa com os outros professores, está "malhando" os alunos.
Não conversa, é um desligado.

Dá muita matéria, não tem dó dos alunos.
Dá pouca matéria, não prepara os alunos.

Brinca com a turma, é metido a engraçado.
Não brinca com a turma, é um chato.

Chama à atenção, é um grosso.
Não chama à atenção, não sabe se impor.

A prova é longa, não dá tempo.
A prova é curta, tira as chances do aluno.

Escreve muito, não explica.
Explica muito, o caderno não tem nada.

Fala corretamente, ninguém entende.
Fala a "língua" do aluno, não tem vocabulário.

Exige, é rude.
Elogia, é debochado.

O aluno é reprovado, é perseguição.
O aluno é aprovado, "deu mole".

É, o professor está sempre errado mas, se você conseguiu ler até aqui agradeça a ele!

O caso dos camêlos

Decifre o problema mais famoso de Malba Tahan, retirado do livro "O Homem que Calculava".

Beremiz, o homem que calculava, estava viajando pelo deserto de carona no camelo de seu amigo. A certa altura, encontraram três irmãos discutindo acaloradamente. Eles não conseguiam chegar a um acordo sobre a divisão de 35 camelos que o pai lhes havia deixado de herança. Segundo o testamento, o filho mais velho deveria receber a metade, ao irmão do meio caberia um terço e o caçula ficaria com a nona parte dos animais. Eles, porém, não sabiam como dividir dessa forma os 35 camelos. A cada nova proposta seguia-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Em qualquer divisão que se tentasse, surgiam protestos, pois, a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas, e a partilha era paralisada. Como resolver o problema?

"É muito simples", atalhou Beremiz, que dominava muito bem os números. Pedindo emprestado o camelo do amigo, propôs uma divisão dos agora 36 camelos. Sendo assim, o mais velho, que deveria receber 17 e meio, ficou muito satisfeito ao sair da disputa com 18. O filho do meio, que teria direito a pouco mais de 11 camelos, ganhou 12. Por fim, o mais moço em vez de herdar 3 camelos e pouco, ganhou 4. Todos ficaram muito felizes com a divisão. Como a soma 18 + 12 + 4 dá 34, Beremiz e o amigo ficam com dois camelos. Devolvendo o camelo de seu amigo, o homem que calculava ficou com aquele que sobrou.

Pergunta-se: Como Beremiz resolveu o problema dos irmãos e ainda saiu ganhando um camelo?

Dia Internacional da Matemática

O Dia Nacional da Matemática é comemorado em 6 de maio, de acordo com Lei aprovada pelo congresso Nacional em 2004, de autoria da Deputada Professora Raquel Teixeira.

A escolha desse dia tem como motivação a data de nascimento do professor Julio César de Mello e Souza, mais conhecido como Malba Tahan.



Malba Tahan era o pseudônimo do professor de matemática Julio César de Mello e Souza, nascido no Rio de Janeiro no dia 6 de maio há 110 anos.

Ele é o autor de um dos maiores sucessos literários de nosso país, o romance O Homem que Calculava, já traduzido em doze idiomas.



Embora tenha publicado ao longo de sua vida cerca de 120 livros sobre Matemática Recreativa, Didática da Matemática, História da Matemática e Literatura Infanto-juvenil, atingindo tiragem de mais de dois milhões de exemplares, pouca gente sabe que ele era brasileiro. Devemos aproveitar essa data para divulgar a Matemática como parte do patrimônio cultural da humanidade mostrando que a Matemática foi criada e vem sendo desenvolvida pelo homem em função de necessidades sociais. Devemos, nessa oportunidade, divulgar a Matemática como área do conhecimento humano, sua história, suas aplicações no mundo contemporâneo, sua ligação com outras áreas do conhecimento e, principalmente, buscar derrubar mitos de que a matemática é muito difícil sendo acessível apenas aos "talentosos". Precisamos erradicar a idéia de que a Matemática é um "bicho-papão", uma disciplina sem vida que só exige dos alunos memorização de fórmulas e treinamento. Trabalhando as obras de Malba Tahan é possível mostrar aos alunos que a Matemática pode ser uma divertida e desafiante aventura podendo ser trabalhada de forma dinâmica e criativa. As revistas Nova Escola - maio de 2005 (Editora Abril), Revista Educação - nº95 / março de 2005 (Editora Segmento) e a Educação Matemática em Revista - nº 16 / 2004 (publicada pela SBEM) trouxeram interessantes reportagens sobre Malba Tahan.

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Vamos pensar um pouco...3

Desafio da escada rolante

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante.

Para isso foi feito o seguinte: duaspessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois.

Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão.

Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Outra forma de calcular potências

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares.

Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.

Exemplo:
5^2 = 1+3+5+7+9 = 25

Quadrados de números inteiros

O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc.

Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série.

Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.

Por exemplo , 5^2 + 2.5 + 1 = 25+10+ 1 = 36 = 6^2

Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.

Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:
19^2 = 18^2 + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361

A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
19 = (18 + 1) = 18^2 + 2.18.1 + 12 = 361

Amor e Matemática

Fiz um cálculo exato para conquistar meu amor,
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração

Descobri meu amor na Matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade

Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.

Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica

Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Loteei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.

1ª Qualificação UERJ 2009

Questão 33

O total de furos nas 6 faces é a soma dos termos de uma PA de razão 1, logo:
S6 = (1 + 6).6 / 2
S6 = 7.6 /2
S6 = 21

Portanto o volume total dos furos é igual a 21 vezes o volume de uma semi-esfera ( 1/2.4/3.π.R3 ) que corresponde a 4,2% do volume do cubo ( a3)

21. 1/2.4/3.π.R^3 = 0,042. a^3, onde π = 3

42. R^3 = 42 a^3 / 1000

a^3 / R^3 = 1000

a / R = 10


Questão 42


Considerando a equação da reta y = ax + b, onde a = tg α, temos:

S = 2 + 1/2 t, portanto tg α = ½

tg 2α = 2.tgα / (1 – tgα^2)
tg 2α = 2. 1/2 / (1 – 1/4)
tg 2α = 1/(3/4)
tg 2α = 4/3

Logo a reta procurada é S = 2 + 4/3 t

Razão e proporção

A soma de dois números é 120 e a razão entre eles é 1/3. Quais são os números?

Solução pela matemática tradicional:
x+y=120 e x/y=1/3
(x+y)/x = (1+3)/1
120/x = 4/1
x=120/4
x=30

se x+y=120
30+y=120
y=120-30
y=90

Solução através das dicas:

120(+) 1 + 3 = 4(+)

Dividindo-se a soma pela soma ficamos com:

120 : 4 = 3

Obtém-se o resultado fazendo-se 30 . 1 = 30 (valor de x) e 30 . 3 = 90 (valor de y)

Juros simples

Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 12/5 de um capital aplicado a uma taxa de 20% ao mês?
a) 12 meses
b) 15 meses
c) 18 meses
d) 20 meses
e) 22 meses

DICA: Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5.

Dados: J = 12 C = 5 i = 20% a. m.

100.J = C.i.t
100.12 = 5.20.t
t = 1200/100
t = 12

Resp.: A

Pitágoras

Pitágoras (582a.C - 497a.C) nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno de Tales. Há registro, porém, de que se mudou para o sul da Itália com cerca de 50 anos de idade. Na época, essa região era parte do mundo grego, e ali Pitágoras fundaria um núcleo de estudos.

Assim que ele morreu, os adeptos de Pitágoras proclamaram seus dons sobrenaturais. "Há três espécies de seres racionais", declaravam, "os homens, os deuses e os que se parecem com Pitágoras”. Como muitos sábios da Antigüidade clássica, Pitágoras tem seu perfil traçado em obras que atravessaram os séculos. Traduzidos, censurados ou rescritos por gerações de escribas, cronistas e historiadores, esses livros provavelmente não seriam reconhecidos por seus primitivos autores. Entretanto, eles permitem estabelecer com segurança a existência de alguns homens como Aristóteles e Hipócrates. O mesmo não acontece com outros, que os próprios antigos não saberiam separar da lenda.

É o caso de Pitágoras, um personagem que os autores modernos mencionam com grande cautela, para evitar deslizes mais sérios. Os dados biográficos disponíveis são freqüentemente contraditórios, quando não nitidamente fantasiosos. E de um modo geral, não merecem confiança. Certos textos, por exemplo, falam de seu amor pelos passarinhos e de sua moral inatacável, sem esquecer uma infância feliz, toda ela passada entre os maiores filósofos da época, em estudos árduos e profundos, a revelar "uma precocidade realmente extraordinária". Isso tudo exige muito da imaginação do leitor.

Porém, se Pitágoras existiu, deve ter nascido por volta do século VI a.C. O que certamente existiu foi a escola filosófica chamada pitagórica, sobre a qual os cronistas estão de acordo. Aristóteles, por exemplo, nunca cita Pitágoras, só conhece os pitagóricos. Devido aos costumes dessa escola (diz-se que seus integrantes não se conheciam uns aos outros, pois se reuniam engazupados), é difícil especificar o papel desempenhado por esta ou aquela figura na elaboração da doutrina, principalmente quanto à sua origem. Parece que os primeiros pitagóricos foram responsáveis pelo conceito de esfericidade da Terra, mas não se pode atribuir a ninguém em especial a autoria da afirmação.

No terreno científico, o pitagorismo centralizou seus esforços na matemática. No campo da "física", isto é, da interpretação material do mundo, a originalidade da escola consistiu na importância dada às oposições, em número de dez, cinco das quais de natureza matemática: limitado-ilimitado; par-ímpar; uno-múltiplo; reto-curvo; quadrado-heteromorfo. Essa visão do mundo, regida por tais oposições, deu aos pitagóricos uma nova característica filosófica: o pluralismo, contraposto ao monismo que via os acontecimentos da natureza como manifestações de um único fenômeno, o movimento.

Para os pitagóricos, o número era o modelo das coisas. Isso levou Aristóteles a dizer mais tarde que para eles os números eram os elementos constitutivos da matéria. Segundo alguns, esse "atomismo" matemático constitui o prenúncio da escola de Abdera, que estabeleceu, na pessoa de Demócrito, o conceito de atomismo físico.

O pitagorismo desenvolveu também um grande esforço no sentido de relacionar a astronomia com a matemática, usando para isso a aritmética, a geometria e até a música. No entanto, os pitagóricos não diferiam profundamente dos outros filósofos gregos, mais preocupados com jogos intelectuais do que com observações práticas: as teses eram enunciadas com o fim de adaptar a realidade à idéia. Esse procedimento, levado às suas maiores conseqüências, pode ser observado em Aristóteles, que governou o pensamento filosófico e científico da humanidade durante mais de mil anos.

O pressuposto filosófico de que os números são o modelo das coisas dominou a escola pitagórica. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.

Dessa maneira, eles desenvolveram a teoria dos números figurados, num esforço para conceber o número em função do espaço, e vice-versa. Os números eram representados através de agrupamentos de pontos, formando figuras. Havia, por exemplo, os números quadrados, como 4 e 9. Cada ponto, símbolo de uma unidade e "átomo" matemático, era circundado por um espaço vazio, não admitindo nenhum fracionamento. A reunião desses pontos fazia-se de acordo com leis bem definidas, desenvolvendo-se as figuras de uma geometria baseada no número inteiro, a aritmogeometria. Em conseqüência, os números eram "lineares", "planos" e "sólidos" Cada um deles podia, certamente, assumir diversas formas, mas havia uma que os caracterizava: por exemplo, 7 era primo e linear, 4 plano e 8 sólido.

A formação de números figurados obedecia à regra geral de que deviam ser obtidos, não através de multiplicações, mas por adições de termos desiguais, mediante somas de séries. Os mais simples entre os números planos eram os triangulares e os quadrados. Os triangulares originavam-se pelas somas dos primeiros números inteiros. Logo, eram triangulares: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; etc. Os quadrados, por sua vez, eram conseguidos pela soma dos números a partir da unidade: 1; 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 1 6; etc.

O número 1, que é triângulo, quadrado e cubo, dá origem a todos os outros. As figuras representativas dos números desenvolviam-se por crescimento gnomônico, isto é, acrescentando um elemento que não alterava a forma característica da "família".

Mostrando a lógica e a generalidade de alguns teoremas, até então verificados somente em casos particulares, os pitagóricos elevaram a matemática à dignidade de uma Ciência. Mais ainda intuíram a universalidade de suas aplicações, situando-a assim na dianteira das Ciências. A mais célebre dessas generalizações, que leva o nome do suposto fundador da escola, é o teorema de Pitágoras. A relação existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) já era bem conhecida dos egípcios e babilônios, que a comprovaram em vários casos.

A demonstração da relação, sem o emprego de números "especiais", foi conseguida a partir de um problema para o qual não existe solução numérica, o da duplicação do quadrado. Com efeito, demonstrou-se que a relação entre a diagonal e o lado do quadrado é um número irracional - raiz quadrada de 2 - e que um quadrado construído sobre a hipotenusa tinha o dobro de área do quadrado original. De qualquer maneira, o teorema de Pitágoras não é suficientemente geral, pois ele é verdadeiro não apenas para as áreas de quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, mas para qualquer outra figura regular. Até aí os pitagóricos não chegaram; esta última generalização foi introduzida mais tarde.

Pode-se imaginar com que decepção os pitagóricos constataram a existência de números - os irracionais - que não se enquadravam perfeitamente no edifício de sua "concepção numérica" do Universo. Inicialmente, as quantidades irracionais foram qualificadas como indizíveis, numa evidente alusão à confusão que trouxeram: os irracionais significavam um verdadeiro malogro da aritmogeometria, uma insuficiência na linguagem e nos símbolos.

O reconhecimento do fracasso e sua aceitação figuram entre os pontos de honra da escola pitagórica, que nisso foi pouco imitada ao longo das épocas. Surpreendentemente, eles admitiram estar diante de dificuldade insuperável, colocando-se de propósito num beco sem saída, pela exigência da demonstração.

Introdutores do rigor demonstrativo e da generalização dos resultados, os pitagóricos garantiram assim seu lugar na história da matemática.

Produtos Notáveis I

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação) notáveis (que se destacam).

Eles são a nata das multiplicações...são as multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!

O único problema é que às vezes eles aparecem e a gente nem nota!...

Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2

Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 .

Os professores lêem assim: "a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo"

Será que é isso mesmo ? Dê onde tiraram tudo isso ? Vejamos a seguir!

Nós sabemos que para calcular uma coisa ao quadrado basta multiplicar esta coisa por ela mesma não é isso ?
Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?

Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2

Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.
O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora,
em seguida.

O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas, é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o anterior vale também para este aqui!

O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).

Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b). Veja:

( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2

Vimos então que existem 3 tipos de multiplicação na matemática que a gente não pode deixar de notar e que chamamos de produtos notáveis. O primeiro é bem parecido com o segundo. A diferença está no sinal de mais ou de menos. O terceiro sempre temos como resultado o quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.

primeiro: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
segundo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
terceiro: (a + b).(a - b) = a2 - b2

Exercício resolvido:
Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599

Exercícios de aprendizagem:
1) Calcule os produtos notáveis:

a) (a+2)(a-2)

b) (xy+3z)(xy-3z)

c) (x²-4y)(x²+4y)

d) (x+3)²

e) (2a-5)²

f) (2xy+4)²

2) Calcule 101.99 usando um produto notável.

Dia da semana do seu nascimento

1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu:

2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o número obtido na 1ª etapa, sem considerar o resto da divisão:

3) Considere o dia do nascimento.


4) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela abaixo.

Janeiro - 0
Fevereiro - 3
Março - 3
Abril - 6
Maio - 1
Junho - 4
Julho - 6
Agosto - 6
Setembro - 5
Outubro - 0
Novembro - 3
Dezembro - 5

5) Da soma dos números obtidos nas quatro primeiras etapas, obtenha o resto da divisão por 7

6) Procure na tabela abaixo o número obtido na 5ª etapa e terá o dia da semana em que você nasceu

Domingo - 0
Segunda - 1
3ª feira - 2
4ª feira - 3
5ª feira - 4
6ª feira - 5
Sábado - 6

Que tal ? Interessante não ?

O Telefone da sua casa

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria.
Aqui vai uma delas...
Pegue num lápis e numa folha de papel.

1- Escreva os 4 primeiros algarismos de seu telefone residencial;
2- Multiplique por 80.
3- Some 1.
4- Multiplique por 250.
5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.
6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.
7- Diminua 250.
8- Divida por 2.

Reconhece o resultado???????

Geometria em ação

Com o compasso na mão
tive uma idéia então,
fiz uma circuferênciaigual a um balão.
Junto de você eu quero aprendera viver,
a sonhar e a desenhar !

Geometria em ação vamos ter idéias de montão!
Retângulo e triangulo todos tem ângulos,
oblíquos ou retose seguimentos paralelos!
Aqui cheguei ao fim com régua e lápis na mão,
então só me cabe dizer:
Vamos lá GEOMETRIA EM AÇÃO.

Você conhece o número mágico?

1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:

Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.

Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Matemática pra que tu serves?

Descartes colocou tudo nos eixos,
Cupido enviou os vetores,
E no quadriculado, de mãos dadas,
Ficaram a Geometria e a Álgebra.

O mar para atravessar,
O Universo para descobrir,
As pirâmides para medir.
Tudo existia, menos a trigonometria.
Construíram-se triângulos,
Mediram-se ângulos,
Fizeram-se cálculos e
Quem sonharia que à Lua se iria?

Flor, fruto, flor, fruto, flor...
Sucessão da natureza.
Dois, quatro, seis, oito...
Sucessão de Matemática.
Quem gosta de Matemática
Tem de gostar da Natureza.
Quem gosta da Natureza
Aprenderá a gostar da Matemática.

O chá arrefece com o tempo,
As plantas florescem com o tempo,
A Matemática aprende-se com o tempo,
A vida vive-se com o tempo.
O que é que não é função do tempo?

Com um duplo cone e um serrote
Apolônio mostrou ao mundo
Elipses, hipérboles e parábolas.
Eram formas tão perfeitas,
Que na Matemática
Já tinham uma equação.
A sua beleza e harmonia
Levaram-nos do plano para o espaço
E também de Apolônio ao nosso dia-a-dia.

Quanto tempo gastou Arquimedes
Para desenhar retângulos e retângulos
Cada vez de menor base,
Até chegar à área de uma curva?
Arquimedes, Arquimedes,
Que paciência a tua.
Mas mostraste ao mundo
Que a Matemática ensina
Não a dizer: não sei
Mas a dizer: ainda não sei.

Trigonometria, Álgebra e Geometria,
Tudo junto para complicar.
Mas as relações são tão interessantes
Que até dá gosto estudar.

Matemática, Matemática
Para que serves tu?
Para dar força e auto-confiança
A quem me consegue tratar por tu.

Porcentagem - Parte 1

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos: (lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa percentual ou porcentagem:

Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que Indica-se por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:

(10/100) x 500
5000/100 = 50

b) 25% de 200:

(25/100) x 200
5000/100 = 50

Ex.2) Qual a taxa percentual de:

a) 3 sobre 5?

x/100 = 3/5
5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

x/100 = 10/20
20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que , talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500? Digitem: 500 Aperte a tecla de multiplicação: X Digitem: 20 Aperte a tecla de porcentagem: % O resultado, como pode ser visto, é 100.

Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?

100/2.000 = 0,05 = 5/100 = 5%

Portanto, 5%.

2) Uma compra foi efetuada no valor de R$1.500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será: (20/100) x 1.500 = 300

Portanto, pagou-se: 1.500 - 300 = 1.200

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:

O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)

Logo, 80% de 1.500 = (80/100) x 1.500 = 0,8 x 1.500= 1.200

Obs: 0,8 ou 0,80 é o fator multiplicativo para um desconto de 20%, portanto teremos:

Porcentagem (%) - Fator Multiplicativo

5% - 0,95 (5 + 95 = 100)

10% - 0,90

20% - 0,80

40% - 0,60

50% - 0,50

67% - 0,33

3) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de: (10/100) x 12.000 = 1.200

Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

110% de 12.000 = (110/100) x 12.000 = 1,1 x 12.000 = 13.200

Obs: 1,1 ou 1,10 é o fator multiplicativo para um acréscimo de 10%, portanto teremos:

Porcentagem (%) - Fator Multiplicativo

5% - 1,05

10% - 1,10

20% - 1,20

40% - 1,40

50% - 1,50

67% - 1,67

4) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:

O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

1,50 x 200 = 300

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:

0,60 x 300 = 180

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.