Produtos Notáveis I

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação) notáveis (que se destacam).

Eles são a nata das multiplicações...são as multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!

O único problema é que às vezes eles aparecem e a gente nem nota!...

Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2

Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 .

Os professores lêem assim: "a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo"

Será que é isso mesmo ? Dê onde tiraram tudo isso ? Vejamos a seguir!

Nós sabemos que para calcular uma coisa ao quadrado basta multiplicar esta coisa por ela mesma não é isso ?
Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?

Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2

Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.
O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora,
em seguida.

O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas, é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o anterior vale também para este aqui!

O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).

Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b). Veja:

( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2

Vimos então que existem 3 tipos de multiplicação na matemática que a gente não pode deixar de notar e que chamamos de produtos notáveis. O primeiro é bem parecido com o segundo. A diferença está no sinal de mais ou de menos. O terceiro sempre temos como resultado o quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.

primeiro: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
segundo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
terceiro: (a + b).(a - b) = a2 - b2

Exercício resolvido:
Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599

Exercícios de aprendizagem:
1) Calcule os produtos notáveis:

a) (a+2)(a-2)

b) (xy+3z)(xy-3z)

c) (x²-4y)(x²+4y)

d) (x+3)²

e) (2a-5)²

f) (2xy+4)²

2) Calcule 101.99 usando um produto notável.