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domingo, 29 de junho de 2008
Vamos pensar um pouco...3
Desafio da escada rolante
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante.
Para isso foi feito o seguinte: duaspessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois.
Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão.
Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).
quarta-feira, 25 de junho de 2008
Outra forma de calcular potências
Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares.
Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.
Exemplo:
5^2 = 1+3+5+7+9 = 25
Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.
Exemplo:
5^2 = 1+3+5+7+9 = 25
Quadrados de números inteiros
O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc.
Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série.
Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.
Por exemplo , 5^2 + 2.5 + 1 = 25+10+ 1 = 36 = 6^2
Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:
19^2 = 18^2 + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361
A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
19 = (18 + 1) = 18^2 + 2.18.1 + 12 = 361
Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série.
Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.
Por exemplo , 5^2 + 2.5 + 1 = 25+10+ 1 = 36 = 6^2
Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:
19^2 = 18^2 + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361
A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
19 = (18 + 1) = 18^2 + 2.18.1 + 12 = 361
Amor e Matemática
Fiz um cálculo exato para conquistar meu amor,
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração
Descobri meu amor na Matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade
Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.
Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica
Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Loteei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração
Descobri meu amor na Matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade
Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.
Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica
Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Loteei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.
terça-feira, 24 de junho de 2008
1ª Qualificação UERJ 2009
Questão 33
O total de furos nas 6 faces é a soma dos termos de uma PA de razão 1, logo:
S6 = (1 + 6).6 / 2
S6 = 7.6 /2
S6 = 21
Portanto o volume total dos furos é igual a 21 vezes o volume de uma semi-esfera ( 1/2.4/3.π.R3 ) que corresponde a 4,2% do volume do cubo ( a3)
21. 1/2.4/3.π.R^3 = 0,042. a^3, onde π = 3
42. R^3 = 42 a^3 / 1000
a^3 / R^3 = 1000
a / R = 10
Questão 42
Considerando a equação da reta y = ax + b, onde a = tg α, temos:
S = 2 + 1/2 t, portanto tg α = ½
tg 2α = 2.tgα / (1 – tgα^2)
tg 2α = 2. 1/2 / (1 – 1/4)
tg 2α = 1/(3/4)
tg 2α = 4/3
Logo a reta procurada é S = 2 + 4/3 t
O total de furos nas 6 faces é a soma dos termos de uma PA de razão 1, logo:
S6 = (1 + 6).6 / 2
S6 = 7.6 /2
S6 = 21
Portanto o volume total dos furos é igual a 21 vezes o volume de uma semi-esfera ( 1/2.4/3.π.R3 ) que corresponde a 4,2% do volume do cubo ( a3)
21. 1/2.4/3.π.R^3 = 0,042. a^3, onde π = 3
42. R^3 = 42 a^3 / 1000
a^3 / R^3 = 1000
a / R = 10
Questão 42
Considerando a equação da reta y = ax + b, onde a = tg α, temos:
S = 2 + 1/2 t, portanto tg α = ½
tg 2α = 2.tgα / (1 – tgα^2)
tg 2α = 2. 1/2 / (1 – 1/4)
tg 2α = 1/(3/4)
tg 2α = 4/3
Logo a reta procurada é S = 2 + 4/3 t
domingo, 22 de junho de 2008
Razão e proporção
A soma de dois números é 120 e a razão entre eles é 1/3. Quais são os números?
Solução pela matemática tradicional:
x+y=120 e x/y=1/3
(x+y)/x = (1+3)/1
120/x = 4/1
x=120/4
x=30
se x+y=120
30+y=120
y=120-30
y=90
Solução através das dicas:
120(+) 1 + 3 = 4(+)
Dividindo-se a soma pela soma ficamos com:
120 : 4 = 3
Obtém-se o resultado fazendo-se 30 . 1 = 30 (valor de x) e 30 . 3 = 90 (valor de y)
Solução pela matemática tradicional:
x+y=120 e x/y=1/3
(x+y)/x = (1+3)/1
120/x = 4/1
x=120/4
x=30
se x+y=120
30+y=120
y=120-30
y=90
Solução através das dicas:
120(+) 1 + 3 = 4(+)
Dividindo-se a soma pela soma ficamos com:
120 : 4 = 3
Obtém-se o resultado fazendo-se 30 . 1 = 30 (valor de x) e 30 . 3 = 90 (valor de y)
Juros simples
Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 12/5 de um capital aplicado a uma taxa de 20% ao mês?
a) 12 meses
b) 15 meses
c) 18 meses
d) 20 meses
e) 22 meses
DICA: Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5.
Dados: J = 12 C = 5 i = 20% a. m.
100.J = C.i.t
100.12 = 5.20.t
t = 1200/100
t = 12
Resp.: A
a) 12 meses
b) 15 meses
c) 18 meses
d) 20 meses
e) 22 meses
DICA: Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5.
Dados: J = 12 C = 5 i = 20% a. m.
100.J = C.i.t
100.12 = 5.20.t
t = 1200/100
t = 12
Resp.: A
Pitágoras
Pitágoras (582a.C - 497a.C) nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno de Tales. Há registro, porém, de que se mudou para o sul da Itália com cerca de 50 anos de idade. Na época, essa região era parte do mundo grego, e ali Pitágoras fundaria um núcleo de estudos.
Assim que ele morreu, os adeptos de Pitágoras proclamaram seus dons sobrenaturais. "Há três espécies de seres racionais", declaravam, "os homens, os deuses e os que se parecem com Pitágoras”. Como muitos sábios da Antigüidade clássica, Pitágoras tem seu perfil traçado em obras que atravessaram os séculos. Traduzidos, censurados ou rescritos por gerações de escribas, cronistas e historiadores, esses livros provavelmente não seriam reconhecidos por seus primitivos autores. Entretanto, eles permitem estabelecer com segurança a existência de alguns homens como Aristóteles e Hipócrates. O mesmo não acontece com outros, que os próprios antigos não saberiam separar da lenda.
É o caso de Pitágoras, um personagem que os autores modernos mencionam com grande cautela, para evitar deslizes mais sérios. Os dados biográficos disponíveis são freqüentemente contraditórios, quando não nitidamente fantasiosos. E de um modo geral, não merecem confiança. Certos textos, por exemplo, falam de seu amor pelos passarinhos e de sua moral inatacável, sem esquecer uma infância feliz, toda ela passada entre os maiores filósofos da época, em estudos árduos e profundos, a revelar "uma precocidade realmente extraordinária". Isso tudo exige muito da imaginação do leitor.
Porém, se Pitágoras existiu, deve ter nascido por volta do século VI a.C. O que certamente existiu foi a escola filosófica chamada pitagórica, sobre a qual os cronistas estão de acordo. Aristóteles, por exemplo, nunca cita Pitágoras, só conhece os pitagóricos. Devido aos costumes dessa escola (diz-se que seus integrantes não se conheciam uns aos outros, pois se reuniam engazupados), é difícil especificar o papel desempenhado por esta ou aquela figura na elaboração da doutrina, principalmente quanto à sua origem. Parece que os primeiros pitagóricos foram responsáveis pelo conceito de esfericidade da Terra, mas não se pode atribuir a ninguém em especial a autoria da afirmação.
No terreno científico, o pitagorismo centralizou seus esforços na matemática. No campo da "física", isto é, da interpretação material do mundo, a originalidade da escola consistiu na importância dada às oposições, em número de dez, cinco das quais de natureza matemática: limitado-ilimitado; par-ímpar; uno-múltiplo; reto-curvo; quadrado-heteromorfo. Essa visão do mundo, regida por tais oposições, deu aos pitagóricos uma nova característica filosófica: o pluralismo, contraposto ao monismo que via os acontecimentos da natureza como manifestações de um único fenômeno, o movimento.
Para os pitagóricos, o número era o modelo das coisas. Isso levou Aristóteles a dizer mais tarde que para eles os números eram os elementos constitutivos da matéria. Segundo alguns, esse "atomismo" matemático constitui o prenúncio da escola de Abdera, que estabeleceu, na pessoa de Demócrito, o conceito de atomismo físico.
O pitagorismo desenvolveu também um grande esforço no sentido de relacionar a astronomia com a matemática, usando para isso a aritmética, a geometria e até a música. No entanto, os pitagóricos não diferiam profundamente dos outros filósofos gregos, mais preocupados com jogos intelectuais do que com observações práticas: as teses eram enunciadas com o fim de adaptar a realidade à idéia. Esse procedimento, levado às suas maiores conseqüências, pode ser observado em Aristóteles, que governou o pensamento filosófico e científico da humanidade durante mais de mil anos.
O pressuposto filosófico de que os números são o modelo das coisas dominou a escola pitagórica. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.
Dessa maneira, eles desenvolveram a teoria dos números figurados, num esforço para conceber o número em função do espaço, e vice-versa. Os números eram representados através de agrupamentos de pontos, formando figuras. Havia, por exemplo, os números quadrados, como 4 e 9. Cada ponto, símbolo de uma unidade e "átomo" matemático, era circundado por um espaço vazio, não admitindo nenhum fracionamento. A reunião desses pontos fazia-se de acordo com leis bem definidas, desenvolvendo-se as figuras de uma geometria baseada no número inteiro, a aritmogeometria. Em conseqüência, os números eram "lineares", "planos" e "sólidos" Cada um deles podia, certamente, assumir diversas formas, mas havia uma que os caracterizava: por exemplo, 7 era primo e linear, 4 plano e 8 sólido.
A formação de números figurados obedecia à regra geral de que deviam ser obtidos, não através de multiplicações, mas por adições de termos desiguais, mediante somas de séries. Os mais simples entre os números planos eram os triangulares e os quadrados. Os triangulares originavam-se pelas somas dos primeiros números inteiros. Logo, eram triangulares: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; etc. Os quadrados, por sua vez, eram conseguidos pela soma dos números a partir da unidade: 1; 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 1 6; etc.
O número 1, que é triângulo, quadrado e cubo, dá origem a todos os outros. As figuras representativas dos números desenvolviam-se por crescimento gnomônico, isto é, acrescentando um elemento que não alterava a forma característica da "família".
Mostrando a lógica e a generalidade de alguns teoremas, até então verificados somente em casos particulares, os pitagóricos elevaram a matemática à dignidade de uma Ciência. Mais ainda intuíram a universalidade de suas aplicações, situando-a assim na dianteira das Ciências. A mais célebre dessas generalizações, que leva o nome do suposto fundador da escola, é o teorema de Pitágoras. A relação existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) já era bem conhecida dos egípcios e babilônios, que a comprovaram em vários casos.
A demonstração da relação, sem o emprego de números "especiais", foi conseguida a partir de um problema para o qual não existe solução numérica, o da duplicação do quadrado. Com efeito, demonstrou-se que a relação entre a diagonal e o lado do quadrado é um número irracional - raiz quadrada de 2 - e que um quadrado construído sobre a hipotenusa tinha o dobro de área do quadrado original. De qualquer maneira, o teorema de Pitágoras não é suficientemente geral, pois ele é verdadeiro não apenas para as áreas de quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, mas para qualquer outra figura regular. Até aí os pitagóricos não chegaram; esta última generalização foi introduzida mais tarde.
Pode-se imaginar com que decepção os pitagóricos constataram a existência de números - os irracionais - que não se enquadravam perfeitamente no edifício de sua "concepção numérica" do Universo. Inicialmente, as quantidades irracionais foram qualificadas como indizíveis, numa evidente alusão à confusão que trouxeram: os irracionais significavam um verdadeiro malogro da aritmogeometria, uma insuficiência na linguagem e nos símbolos.
O reconhecimento do fracasso e sua aceitação figuram entre os pontos de honra da escola pitagórica, que nisso foi pouco imitada ao longo das épocas. Surpreendentemente, eles admitiram estar diante de dificuldade insuperável, colocando-se de propósito num beco sem saída, pela exigência da demonstração.
Introdutores do rigor demonstrativo e da generalização dos resultados, os pitagóricos garantiram assim seu lugar na história da matemática.
Assim que ele morreu, os adeptos de Pitágoras proclamaram seus dons sobrenaturais. "Há três espécies de seres racionais", declaravam, "os homens, os deuses e os que se parecem com Pitágoras”. Como muitos sábios da Antigüidade clássica, Pitágoras tem seu perfil traçado em obras que atravessaram os séculos. Traduzidos, censurados ou rescritos por gerações de escribas, cronistas e historiadores, esses livros provavelmente não seriam reconhecidos por seus primitivos autores. Entretanto, eles permitem estabelecer com segurança a existência de alguns homens como Aristóteles e Hipócrates. O mesmo não acontece com outros, que os próprios antigos não saberiam separar da lenda.
É o caso de Pitágoras, um personagem que os autores modernos mencionam com grande cautela, para evitar deslizes mais sérios. Os dados biográficos disponíveis são freqüentemente contraditórios, quando não nitidamente fantasiosos. E de um modo geral, não merecem confiança. Certos textos, por exemplo, falam de seu amor pelos passarinhos e de sua moral inatacável, sem esquecer uma infância feliz, toda ela passada entre os maiores filósofos da época, em estudos árduos e profundos, a revelar "uma precocidade realmente extraordinária". Isso tudo exige muito da imaginação do leitor.
Porém, se Pitágoras existiu, deve ter nascido por volta do século VI a.C. O que certamente existiu foi a escola filosófica chamada pitagórica, sobre a qual os cronistas estão de acordo. Aristóteles, por exemplo, nunca cita Pitágoras, só conhece os pitagóricos. Devido aos costumes dessa escola (diz-se que seus integrantes não se conheciam uns aos outros, pois se reuniam engazupados), é difícil especificar o papel desempenhado por esta ou aquela figura na elaboração da doutrina, principalmente quanto à sua origem. Parece que os primeiros pitagóricos foram responsáveis pelo conceito de esfericidade da Terra, mas não se pode atribuir a ninguém em especial a autoria da afirmação.
No terreno científico, o pitagorismo centralizou seus esforços na matemática. No campo da "física", isto é, da interpretação material do mundo, a originalidade da escola consistiu na importância dada às oposições, em número de dez, cinco das quais de natureza matemática: limitado-ilimitado; par-ímpar; uno-múltiplo; reto-curvo; quadrado-heteromorfo. Essa visão do mundo, regida por tais oposições, deu aos pitagóricos uma nova característica filosófica: o pluralismo, contraposto ao monismo que via os acontecimentos da natureza como manifestações de um único fenômeno, o movimento.
Para os pitagóricos, o número era o modelo das coisas. Isso levou Aristóteles a dizer mais tarde que para eles os números eram os elementos constitutivos da matéria. Segundo alguns, esse "atomismo" matemático constitui o prenúncio da escola de Abdera, que estabeleceu, na pessoa de Demócrito, o conceito de atomismo físico.
O pitagorismo desenvolveu também um grande esforço no sentido de relacionar a astronomia com a matemática, usando para isso a aritmética, a geometria e até a música. No entanto, os pitagóricos não diferiam profundamente dos outros filósofos gregos, mais preocupados com jogos intelectuais do que com observações práticas: as teses eram enunciadas com o fim de adaptar a realidade à idéia. Esse procedimento, levado às suas maiores conseqüências, pode ser observado em Aristóteles, que governou o pensamento filosófico e científico da humanidade durante mais de mil anos.
O pressuposto filosófico de que os números são o modelo das coisas dominou a escola pitagórica. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.
Dessa maneira, eles desenvolveram a teoria dos números figurados, num esforço para conceber o número em função do espaço, e vice-versa. Os números eram representados através de agrupamentos de pontos, formando figuras. Havia, por exemplo, os números quadrados, como 4 e 9. Cada ponto, símbolo de uma unidade e "átomo" matemático, era circundado por um espaço vazio, não admitindo nenhum fracionamento. A reunião desses pontos fazia-se de acordo com leis bem definidas, desenvolvendo-se as figuras de uma geometria baseada no número inteiro, a aritmogeometria. Em conseqüência, os números eram "lineares", "planos" e "sólidos" Cada um deles podia, certamente, assumir diversas formas, mas havia uma que os caracterizava: por exemplo, 7 era primo e linear, 4 plano e 8 sólido.
A formação de números figurados obedecia à regra geral de que deviam ser obtidos, não através de multiplicações, mas por adições de termos desiguais, mediante somas de séries. Os mais simples entre os números planos eram os triangulares e os quadrados. Os triangulares originavam-se pelas somas dos primeiros números inteiros. Logo, eram triangulares: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; etc. Os quadrados, por sua vez, eram conseguidos pela soma dos números a partir da unidade: 1; 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 1 6; etc.
O número 1, que é triângulo, quadrado e cubo, dá origem a todos os outros. As figuras representativas dos números desenvolviam-se por crescimento gnomônico, isto é, acrescentando um elemento que não alterava a forma característica da "família".
Mostrando a lógica e a generalidade de alguns teoremas, até então verificados somente em casos particulares, os pitagóricos elevaram a matemática à dignidade de uma Ciência. Mais ainda intuíram a universalidade de suas aplicações, situando-a assim na dianteira das Ciências. A mais célebre dessas generalizações, que leva o nome do suposto fundador da escola, é o teorema de Pitágoras. A relação existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) já era bem conhecida dos egípcios e babilônios, que a comprovaram em vários casos.
A demonstração da relação, sem o emprego de números "especiais", foi conseguida a partir de um problema para o qual não existe solução numérica, o da duplicação do quadrado. Com efeito, demonstrou-se que a relação entre a diagonal e o lado do quadrado é um número irracional - raiz quadrada de 2 - e que um quadrado construído sobre a hipotenusa tinha o dobro de área do quadrado original. De qualquer maneira, o teorema de Pitágoras não é suficientemente geral, pois ele é verdadeiro não apenas para as áreas de quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, mas para qualquer outra figura regular. Até aí os pitagóricos não chegaram; esta última generalização foi introduzida mais tarde.
Pode-se imaginar com que decepção os pitagóricos constataram a existência de números - os irracionais - que não se enquadravam perfeitamente no edifício de sua "concepção numérica" do Universo. Inicialmente, as quantidades irracionais foram qualificadas como indizíveis, numa evidente alusão à confusão que trouxeram: os irracionais significavam um verdadeiro malogro da aritmogeometria, uma insuficiência na linguagem e nos símbolos.
O reconhecimento do fracasso e sua aceitação figuram entre os pontos de honra da escola pitagórica, que nisso foi pouco imitada ao longo das épocas. Surpreendentemente, eles admitiram estar diante de dificuldade insuperável, colocando-se de propósito num beco sem saída, pela exigência da demonstração.
Introdutores do rigor demonstrativo e da generalização dos resultados, os pitagóricos garantiram assim seu lugar na história da matemática.
Produtos Notáveis I
Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação) notáveis (que se destacam).
Eles são a nata das multiplicações...são as multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!
O único problema é que às vezes eles aparecem e a gente nem nota!...
Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2
Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 .
Os professores lêem assim: "a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo"
Será que é isso mesmo ? Dê onde tiraram tudo isso ? Vejamos a seguir!
Nós sabemos que para calcular uma coisa ao quadrado basta multiplicar esta coisa por ela mesma não é isso ?
Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?
Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:
(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2
Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.
O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora,
em seguida.
O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas, é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o anterior vale também para este aqui!
O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).
Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b). Veja:
( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2
Vimos então que existem 3 tipos de multiplicação na matemática que a gente não pode deixar de notar e que chamamos de produtos notáveis. O primeiro é bem parecido com o segundo. A diferença está no sinal de mais ou de menos. O terceiro sempre temos como resultado o quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.
primeiro: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
segundo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
terceiro: (a + b).(a - b) = a2 - b2
Exercício resolvido:
Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
Exercícios de aprendizagem:
1) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y)
d) (x+3)²
e) (2a-5)²
f) (2xy+4)²
2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
Eles são a nata das multiplicações...são as multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!
O único problema é que às vezes eles aparecem e a gente nem nota!...
Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2
Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 .
Os professores lêem assim: "a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo"
Será que é isso mesmo ? Dê onde tiraram tudo isso ? Vejamos a seguir!
Nós sabemos que para calcular uma coisa ao quadrado basta multiplicar esta coisa por ela mesma não é isso ?
Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?
Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:
(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2
Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.
O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora,
em seguida.
O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas, é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o anterior vale também para este aqui!
O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).
Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b). Veja:
( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2
Vimos então que existem 3 tipos de multiplicação na matemática que a gente não pode deixar de notar e que chamamos de produtos notáveis. O primeiro é bem parecido com o segundo. A diferença está no sinal de mais ou de menos. O terceiro sempre temos como resultado o quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.
primeiro: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
segundo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
terceiro: (a + b).(a - b) = a2 - b2
Exercício resolvido:
Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
Exercícios de aprendizagem:
1) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y)
d) (x+3)²
e) (2a-5)²
f) (2xy+4)²
2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
Dia da semana do seu nascimento
1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu:
2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o número obtido na 1ª etapa, sem considerar o resto da divisão:
3) Considere o dia do nascimento.
4) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela abaixo.
Janeiro - 0
Fevereiro - 3
Março - 3
Abril - 6
Maio - 1
Junho - 4
Julho - 6
Agosto - 6
Setembro - 5
Outubro - 0
Novembro - 3
Dezembro - 5
5) Da soma dos números obtidos nas quatro primeiras etapas, obtenha o resto da divisão por 7
6) Procure na tabela abaixo o número obtido na 5ª etapa e terá o dia da semana em que você nasceu
Domingo - 0
Segunda - 1
3ª feira - 2
4ª feira - 3
5ª feira - 4
6ª feira - 5
Sábado - 6
Que tal ? Interessante não ?
2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o número obtido na 1ª etapa, sem considerar o resto da divisão:
3) Considere o dia do nascimento.
4) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela abaixo.
Janeiro - 0
Fevereiro - 3
Março - 3
Abril - 6
Maio - 1
Junho - 4
Julho - 6
Agosto - 6
Setembro - 5
Outubro - 0
Novembro - 3
Dezembro - 5
5) Da soma dos números obtidos nas quatro primeiras etapas, obtenha o resto da divisão por 7
6) Procure na tabela abaixo o número obtido na 5ª etapa e terá o dia da semana em que você nasceu
Domingo - 0
Segunda - 1
3ª feira - 2
4ª feira - 3
5ª feira - 4
6ª feira - 5
Sábado - 6
Que tal ? Interessante não ?
O Telefone da sua casa
A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria.
Aqui vai uma delas...
Pegue num lápis e numa folha de papel.
1- Escreva os 4 primeiros algarismos de seu telefone residencial;
2- Multiplique por 80.
3- Some 1.
4- Multiplique por 250.
5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.
6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.
7- Diminua 250.
8- Divida por 2.
Reconhece o resultado???????
Aqui vai uma delas...
Pegue num lápis e numa folha de papel.
1- Escreva os 4 primeiros algarismos de seu telefone residencial;
2- Multiplique por 80.
3- Some 1.
4- Multiplique por 250.
5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.
6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.
7- Diminua 250.
8- Divida por 2.
Reconhece o resultado???????
Geometria em ação
Com o compasso na mão
tive uma idéia então,
fiz uma circuferênciaigual a um balão.
Junto de você eu quero aprendera viver,
a sonhar e a desenhar !
Geometria em ação vamos ter idéias de montão!
Retângulo e triangulo todos tem ângulos,
oblíquos ou retose seguimentos paralelos!
Aqui cheguei ao fim com régua e lápis na mão,
então só me cabe dizer:
Vamos lá GEOMETRIA EM AÇÃO.
tive uma idéia então,
fiz uma circuferênciaigual a um balão.
Junto de você eu quero aprendera viver,
a sonhar e a desenhar !
Geometria em ação vamos ter idéias de montão!
Retângulo e triangulo todos tem ângulos,
oblíquos ou retose seguimentos paralelos!
Aqui cheguei ao fim com régua e lápis na mão,
então só me cabe dizer:
Vamos lá GEOMETRIA EM AÇÃO.
segunda-feira, 16 de junho de 2008
Você conhece o número mágico?
1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico)
Matemática pra que tu serves?
Descartes colocou tudo nos eixos,
Cupido enviou os vetores,
E no quadriculado, de mãos dadas,
Ficaram a Geometria e a Álgebra.
O mar para atravessar,
O Universo para descobrir,
As pirâmides para medir.
Tudo existia, menos a trigonometria.
Construíram-se triângulos,
Mediram-se ângulos,
Fizeram-se cálculos e
Quem sonharia que à Lua se iria?
Flor, fruto, flor, fruto, flor...
Sucessão da natureza.
Dois, quatro, seis, oito...
Sucessão de Matemática.
Quem gosta de Matemática
Tem de gostar da Natureza.
Quem gosta da Natureza
Aprenderá a gostar da Matemática.
O chá arrefece com o tempo,
As plantas florescem com o tempo,
A Matemática aprende-se com o tempo,
A vida vive-se com o tempo.
O que é que não é função do tempo?
Com um duplo cone e um serrote
Apolônio mostrou ao mundo
Elipses, hipérboles e parábolas.
Eram formas tão perfeitas,
Que na Matemática
Já tinham uma equação.
A sua beleza e harmonia
Levaram-nos do plano para o espaço
E também de Apolônio ao nosso dia-a-dia.
Quanto tempo gastou Arquimedes
Para desenhar retângulos e retângulos
Cada vez de menor base,
Até chegar à área de uma curva?
Arquimedes, Arquimedes,
Que paciência a tua.
Mas mostraste ao mundo
Que a Matemática ensina
Não a dizer: não sei
Mas a dizer: ainda não sei.
Trigonometria, Álgebra e Geometria,
Tudo junto para complicar.
Mas as relações são tão interessantes
Que até dá gosto estudar.
Matemática, Matemática
Para que serves tu?
Para dar força e auto-confiança
A quem me consegue tratar por tu.
Cupido enviou os vetores,
E no quadriculado, de mãos dadas,
Ficaram a Geometria e a Álgebra.
O mar para atravessar,
O Universo para descobrir,
As pirâmides para medir.
Tudo existia, menos a trigonometria.
Construíram-se triângulos,
Mediram-se ângulos,
Fizeram-se cálculos e
Quem sonharia que à Lua se iria?
Flor, fruto, flor, fruto, flor...
Sucessão da natureza.
Dois, quatro, seis, oito...
Sucessão de Matemática.
Quem gosta de Matemática
Tem de gostar da Natureza.
Quem gosta da Natureza
Aprenderá a gostar da Matemática.
O chá arrefece com o tempo,
As plantas florescem com o tempo,
A Matemática aprende-se com o tempo,
A vida vive-se com o tempo.
O que é que não é função do tempo?
Com um duplo cone e um serrote
Apolônio mostrou ao mundo
Elipses, hipérboles e parábolas.
Eram formas tão perfeitas,
Que na Matemática
Já tinham uma equação.
A sua beleza e harmonia
Levaram-nos do plano para o espaço
E também de Apolônio ao nosso dia-a-dia.
Quanto tempo gastou Arquimedes
Para desenhar retângulos e retângulos
Cada vez de menor base,
Até chegar à área de uma curva?
Arquimedes, Arquimedes,
Que paciência a tua.
Mas mostraste ao mundo
Que a Matemática ensina
Não a dizer: não sei
Mas a dizer: ainda não sei.
Trigonometria, Álgebra e Geometria,
Tudo junto para complicar.
Mas as relações são tão interessantes
Que até dá gosto estudar.
Matemática, Matemática
Para que serves tu?
Para dar força e auto-confiança
A quem me consegue tratar por tu.
segunda-feira, 9 de junho de 2008
Porcentagem - Parte 1
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:
Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?
A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos: (lê-se 10 por cento) 
(lê-se 150 por cento)
Definição de taxa percentual ou porcentagem:
|
, à razão 
tal que 
por 
Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Exemplos para compreendermos melhor:
Ex.1) Calcule:
a) 10% de 500:
(10/100) x 500
5000/100 = 50
(10/100) x 500
5000/100 = 50
b) 25% de 200:
(25/100) x 200
5000/100 = 50
Ex.2) Qual a taxa percentual de:
a) 3 sobre 5?
x/100 = 3/5
5x = 300
x= 60
A taxa é de 60%
b) 10 sobre 20?
x/100 = 10/20
20x = 1000
x = 50
A taxa é de 50%
|
Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.
Exercícios resolvidos:
1) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?
100/2.000 = 0,05 = 5/100 = 5%
Portanto, 5%.
2) Uma compra foi efetuada no valor de R$1.500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
O desconto será: (20/100) x 1.500 = 300
Portanto, pagou-se: 1.500 - 300 = 1.200
Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)
Logo, 80% de 1.500 = (80/100) x 1.500 = 0,8 x 1.500= 1.200
Obs: 0,8 ou 0,80 é o fator multiplicativo para um desconto de 20%, portanto teremos:
Porcentagem (%) - Fator Multiplicativo
5% - 0,95 (5 + 95 = 100)
10% - 0,90
20% - 0,80
40% - 0,60
50% - 0,50
67% - 0,33
3) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
O acréscimo será de: (10/100) x 12.000 = 1.200
Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200
Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:
110% de 12.000 = (110/100) x 12.000 = 1,1 x 12.000 = 13.200
Obs: 1,1 ou 1,10 é o fator multiplicativo para um acréscimo de 10%, portanto teremos:
Porcentagem (%) - Fator Multiplicativo
5% - 1,05
10% - 1,10
20% - 1,20
40% - 1,40
50% - 1,50
67% - 1,67
4) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?
Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.
1,50 x 200 = 300
Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.
Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:
0,60 x 300 = 180
Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.
domingo, 8 de junho de 2008
Como calcular o número dos seus sapatos
Você sabe com é calculado o número dos seus calçados?
Não?
Então vamos aprender mais esta curiosidade, que pode ajudar as mamães a escolher a numeração correta para seus filhos.
Uma coisa é certa. Todo mundo sabe, que se usarmos calçados muito grandes, ou muito pequenos, com certeza teremos sérios problemas futuramente, então vamos aprender uma fórmula matemática, que nos permite ter uma noção bem aproximada da numeração correta de nossos calçados.
Seja o número do calçado= (5p+28)/ 4 sendo p igual ao comprimento do pé em centímetros.
Assim:
Se tivermos um pé com 24 centímetros para medir, então o seu sapato deverá ter:
Número do sapato = (5. 24+28)/4 = (120+28)/4 = (148)/4 = 37
Observação: Nem sempre teremos o resultado exato, mas com certeza, bem próxima de uma numeração correta.
Não?
Então vamos aprender mais esta curiosidade, que pode ajudar as mamães a escolher a numeração correta para seus filhos.
Uma coisa é certa. Todo mundo sabe, que se usarmos calçados muito grandes, ou muito pequenos, com certeza teremos sérios problemas futuramente, então vamos aprender uma fórmula matemática, que nos permite ter uma noção bem aproximada da numeração correta de nossos calçados.
Seja o número do calçado= (5p+28)/ 4 sendo p igual ao comprimento do pé em centímetros.
Assim:
Se tivermos um pé com 24 centímetros para medir, então o seu sapato deverá ter:
Número do sapato = (5. 24+28)/4 = (120+28)/4 = (148)/4 = 37
Observação: Nem sempre teremos o resultado exato, mas com certeza, bem próxima de uma numeração correta.
Sugestões
Este espaço estará disponibilizado para que vocês deixem suas sugestões, dúvidas, recados, etc...
Use-o da maneira que bem entender, ele é todo seu.
ALGUMA DÚVIDA?
Use-o da maneira que bem entender, ele é todo seu.
ALGUMA DÚVIDA?
quarta-feira, 4 de junho de 2008
1ª Qualificação UERJ - 2008
Questão 23
João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00.
Para que João tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a:
(A) 12% (B) 14% (C) 16% (D) 18%
Questão 36
Um estudante utilizou uma tabela periódica como tabuleiro para um jogo no qual cada elemento químico corresponde a uma casa.
Esse jogo consiste no lançamento de um dado de seis faces, numeradas de 1 a 6, para conduzir um peão em um mesmo período da tabela periódica, por uma determinada quantidade de casas, de acordo com o número indicado pelo dado a cada lançamento. Se, por exemplo, um peão estiver na casa onde está localizado o elemento cálcio, e o número indicado pelo dado for 4, ele será conduzido, pelo jogador, até a casa correspondente ao elemento cromo.
Considere um peão localizado na casa do metal alcalino do 5º período. Para que esse peão pare na casa do halogênio nesse mesmo período, após três lançamentos do dado, há n seqüências possíveis de resultados desses lançamentos.
Nesse caso, o valor de n é igual a:
(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 9
Bhaskara Akaria
Bhaskara foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano nascido em Vijayapura (1114-1185), Índia, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell* e a solução do problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito. Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta que ali tinham trabalhado e construído uma escola forte de astronomia matemática. Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho reivindicado para ele é por muitos historiadores para ser uma falsificação posterior.
Os seis comprovados são Lilavati, Bijaganita, Siddhantasiromani, Vasanabhasya of Mitaksara, Karanakutuhala ou Brahmatulya e Vivarana Em Siddhantasiromani, dois volumes sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia, apresentou as expressões sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b e sen(a - b) = sen a cos b - cos a sen b.
Ø Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos é dividido em duas partes:
· Goladhyaya ( Esfera Celeste );
· Granaganita ( Matemática dos Planetas );
Ø Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( = Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que dedicava-se aos cálculos aritméticos e geométricos ].
Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações . Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.
Seu tratado mais conhecido é Lilavati (1150), nome de uma sua filha, um livro com numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas, tanto determinadas como indeterminadas, mensurações lineares e de áreas e volumes, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríades pitagóricas e outros. Por exemplo, mostrou a solução para as equações indeterminadas considerando o problema da divisão por zero e a demonstração de forma simplificada do teorema de Pitágoras, além de apresentar tabelas de senos com intervalos de um grau. Definiu valores para p da seguinte forma: 3927/1250 para cálculos acurados, 22/7 para aproximações e raiz quadrada de 10 para exercícios corriqueiros.
Conta a história que “quando Lilavati nasceu, Bhaskara consultou as estrelas e verificou, pela disposição dos astros, que sua filha, condenada a permanecer solteira toda a vida, ficaria esquecida pelo amor dos jovens patrícios. Não se conformou Bhaskara com essa determinação do Destino e recorreu aos ensinamentos dos astrólogos mais famosos do tempo. Como fazer para que a graciosa Lilavati pudesse obter marido, sendo feliz no casamento? Um astrólogo, consultado por Bhaskara, aconselhou-a a casar Lilavati com o primeiro pretendente que aparecesse, mas demonstrou que a única hora propícia para a cerimônia do enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do Tempo.
Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro, aberto apenas em cima, apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base. À proporção que a água, entrando pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro, este afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora previamente determinada.
Lilavati foi, afinal, com agradável surpresa, pedida em casamento por um jovem rico e de boa casta. Fixado o dia e marcada a hora, reuniram-se os amigos para assistir à cerimonia.
Bhaskara colocou o cilindro das horas e aguardou que a água chegasse ao nível marcado. A noiva, levada por irreprimível curiosidade, verdadeiramente feminina, quis observar a subida da água no cilindro. Aproximou-se para acompanhar a determinação do Tempo. Uma das pérolas de seu vestido desprendeu-se e caiu no interior do vaso. Por uma fatalidade, a pérola levada pela água foi obstruir o pequeno orifício do cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a água do vaso. O noivo e os convidados esperaram com paciência largo período de tempo. Passou-se a hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como previra o sábio astrólogo. O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse fixado, depois de consultados os astros, outro dia para o casamento. O jovem brâmane, que pedira Lilavati em casamento, desapareceu semanas depois e a filha de Bhaskara ficou para sempre solteira.
Reconheceu o sábio geômetra que é inútil contra o Destino e disse à sua filha:
-- Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento."
O livro Lilavati, na verdade, é a quarta parte do livro Siddhanta Siroman. Enquanto Lilavati (A Bela) trata de aritmética, as outras três partes são Bijaganita (Contagem de sementes), álgebra, Grahaganita, sobre Matemática planetária e Goladhyaya, sobre o globo celeste.
O Lilavati é escrito em 278 versos e trata de vários assuntos: tabelas, o sistema de numeração, as oito operações, frações, zero, regra de três, regra de três composta, mistura, porcentagens, progressões, geometria, medidas, pilhas, problemas geométricos de sombras, modificação da Kuttaka (a equação ax+c=by), da varga prakrit (a equação nx^2 + 1 = y^2, com n inteiro positivo, também conhecida como equação de Pell) e permutações. (apud Siddhanta Siroman, acedido em 00/11/15)
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.
Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
Chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:
v y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
v a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador ).
Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula, já que estas surgiram 400 anos após a sua morte.
Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
Usando REGRAS !
Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.
A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:
EXEMPLO:
Para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
"multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"
É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver :
x2 = px + q e x2 + px = q.
Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logística Speciosa de François Viète c. 1 600 d.C., que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida formula de resolução da equação do 2ºgrau.
Um problema de aritmética do livro Lilavati
“A quinta parte de um enxame de abelhas pousou numa flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números, voa sobre uma flor de Krutaja. E uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus.
Diz-me, bela menina, qual é o número das abelhas?”
Calendário de Provas do Vestibular
| UNIVERSIDADES | DATA DAS PROVAS |
| UFRJ | 11 e 25/11 |
| UFF | 15/11 e 9/12 |
| UNIRIO | 18/11 e 13/1 |
| UFRRJ | 15 e 16/12 |
| CEFET | 6/12 e 6/1 |
| UERJ | 17/6 (1º Exame de qualificação) |
| 16/9 (2º Exame de qualificação) | |
| 2/12 (Provas Específicas) |
Resposta do "Vamos pensar um pouco..." nº 1
Trata-se de uma série de três números. O enunciado diz que o maior ( o número de peixes da irmã) é o dobro do menor (João). E afirma que a irmã tem dois a mais do que ele. Só há um número que multiplicado por dois é o mesmo que somado a dois; o próprio 2. Assim, a seqüência é : 2 (João), 3 ( Inara) e 4 (Irmã).
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