Dobre ao meio uma folha de papel A4. Depois dobre novamente, e siga dobrando ao meio enquanto puder. Vai ficando um retângulo cada vez menor, mas de espessura cada vez maior. Com isso, em certo momento será difícil fazer a próxima dobra. A sétima dobra já é praticamente impossível. Mas imagine que você tivesse uma folha que pudesse ser dobrada sem dificuldades quantas vezes você desejasse. E se quiséssemos que esta folha dobrada alcançasse a Lua? Quantas dobras seriam necessárias para que a espessura final fosse maior que os quase 400 mil km que separam a Terra da Lua? Um milhão? Não. Bastaria dobrar 42 vezes. E com 43 dobras você teria a ida e a volta da Lua. Não acredita? Em calculadora, insira 0,1 e vá multiplicando por 2 quarenta e duas vezes. Lembre-se de converter de mm para km. Com a matemática e uma boa dose de imaginação, uma folha de papel pode levá-lo até a Lua!
VAMOS FAZER AS CONTAS?
Temos os seguintes dados:
* Espessura da folha de papel: 0,1 milímetros;
* Distância da Terra à Lua: 384.405 km.
Você pode colocar na sua calculadora 0,1 (milímetros) e multiplicar por 2 quarenta e duas vezes. Vai obter 438.904.651.110,4 (milímetros), o que equivale a mais de 400 mil quilômetros.
Mas vamos chegar a este número efetuando menos operações. Precisamos calcular
0,1 x 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2
onde multiplicamos por 2 quarenta e duas vezes, isto é, queremos descobrir quanto é 0,1 x 242.
Veja:
2^5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.
Para encontrar 2^10 podemos observar que
2^10 = 2^5 x 2^5 = 32 x 32 = 1.024.
Da mesma forma, podemos calcular 240 fazendo:
2^40 = 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 = 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 = 1.099.511.627.776.
Finalmente, para obter 2^42 basta multiplicar este último número por dois mais duas vezes:
1.099.511.627.776 x 2 x 2 = 4.389.046.511.104.
Então, multiplicando 0,1 mm por 2^42 obtemos 438.904.651.110,4 milímetros, o que equivale a 438.904.651,1104 metros ou, ainda, 438.904,6511104 quilômetros, mais que 400 mil quilômetros! Se dobrar uma vez mais, teremos quilômetros suficientes para ir e voltar da Lua! Incrível, não é?
Por trás desses fatos surpreendentes estão as propriedades do crescimento exponencial. Saiba mais sobre crescimento exponencial acessando o link: http://www.uff.br/cdme/exponencial/.
domingo, 4 de abril de 2010
sábado, 3 de abril de 2010
Matemática Financeira - parte 5 (Valor Presente e Valor Futuro))
FLUXO DE CAIXA
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO
Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).
Então essa fórmula pode ser escrita como
FV = PV (1 + i) n
Isolando PV na fórmula temos:
PV = FV / (1+i)n
Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
Exemplo:
Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Solução:
FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO
Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).
Então essa fórmula pode ser escrita como
FV = PV (1 + i) n
Isolando PV na fórmula temos:
PV = FV / (1+i)n
Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
Exemplo:
Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Solução:
FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
Matemática Financeira - parte 4 (Taxas)
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + n r P
No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + r ) n
Portanto:
* num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
* num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.
* Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
* O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )
* Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
* O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
Exemplos:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.
Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
No regime de juros simples:
M( n ) = P + n r P
No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + r ) n
Portanto:
* num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
* num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.
* Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
* O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )
* Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
* O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
Exemplos:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.
Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Matemática Financeira - parte 3 (Juros Compostos)
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
Matemática Financeira - parte 2 (Juros Simples)
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Matemática Financeira - parte 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
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