Eratóstenes

Por volta do ano 220 a.C. muita gente já achava que a Terra era redonda, mas ninguém sabia dizer qual a medida de sua circunferência. Inconformado com esse estado de coisas, um cidadão grego chamado Eratóstenes resolveu sanar a falha. Mas, se era inconformado, era também comodista. E, além de comodista, astrônomo, de modo que tratou de solucionar a questão sem ter que sair de casa, utilizando-se do Sol. Tantos cálculos fez, que acabou descobrindo um sistema adequado, graças ao qual pôde estabelecer que o globo terrestre tinha 40000 Km de circunferência.
Passados mais de 2000 anos, os estudiosos foram conferir os cálculos de Eratóstenes e tiveram uma surpresa: a nova medição, realizada com equipamentos de precisão e modernos sistemas de cálculo, resultou numa cifra praticamente idêntica à do sábio. Ou seja: 40070 Km.
Eratóstenes nasceu em Cyrene, uma colônia grega do Norte da África, por volta do ano 276 a.C. Brilhante desde moço, estudou com os melhores professores do seu tempo e tão famoso se tornou, que o faraó Ptolomeu III do Egito lhe deu a direção da Biblioteca de Alexandria, bem como o cargo de preceptor de seu filho.
Praticamente não havia assunto pelo qual Eratóstenes não se interessasse: filosofia, história, gramática, poesia, geografia e matemática, tudo o atraía e sobre cada um desses assuntos ele escreveu trabalhos de grande valor. Astronomia e números, porém, eram seus temas prediletos e, como toda ciência grega de então sofria a influência das idéias de Pitágoras, Eratóstenes formou-se pela linha pitagórica, a qual admitia teorias muito avançadas para a época. Aceitava, por exemplo, que a Terra fosse uma esfera solta no espaço, girando em conjunto com várias outras ao redor de um núcleo central de fogo - numa antevisão do sistema que só bem mais tarde Copérnico enunciaria.
Para os pitagóricos, a explicação do mundo estava nos números. E por eles Eratóstenes pautou toda a sua carreira. Ao escrever um tratado sobre geografia, dividiu o globo em paralelos e meridianos, fazendo da localização geográfica um trabalho matemático - sistema que continua em uso até hoje. Mostrou também, nessa obra, que era possível chegar-se à Índia partindo da Espanha. E sugeriu ainda a existência de terras habitadas no Ocidente - conforme Colombo provaria mil e setecentos anos depois, ao chegar à América.
Lidar com números primos (divisíveis apenas por si mesmos e pela unidade) era um problema sério para os matemáticos de Alexandria. Eratóstenes decidiu resolvê-lo e de fato o fez, criando uma tabela de eliminações progressivas, com a qual se tornou fácil determinar se um número era primo ou não. Amplamente usado a partir de então, seu método ainda hoje consta dos manuais de aritmética, nos quais aparece como "o crivo de Eratóstenes".
Com uma quantidade admirável de descobrimentos e inovações a seu crédito, Eratóstenes viveu até os 80 anos. E não esperou que a morte viesse convocá-lo: preferiu o suicídio e deixou-se morrer na inanição.



Para medir o tamanho da Terra, Eratóstenes raciocinou assim: Syene e Alexandria situavam-se quase sobre o mesmo meridiano - linha equivalente a circunferência da Terra. Syene ficava praticamente sobre o Trópico de Câncer; portanto, no dia de solstício de verão, ao meio-dia, os raios solares incidiam perpendicularmente - ou seja - a 900 - sobre a cidade. No mesmo dia, à mesma hora, ficavam a 810 sobre Alexandria (ilustração abaixo), afastada 5000 estádios (1000 Km) de Syene (ilustração acima). Vendo que a um segmento de circunferência medindo 5000 estádios correspondia uma diferença de 90 na incidência dos raios solares, Eratóstenes precisou apenas fazer uma regra de três simples para achar o correspondente aos 3600 da circunferência terrestre. Obteve como resultado 200000 estádios. Que são 40000 Km.

al-Khwārizmī

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi foi um matemático árabe que nasceu em torno de 780 e morreu por volta do ano 850. Sabe-se pouco sobre sua vida. Há indícios de que ele, ou a sua família, era originário de Khowarezm, a região a sul do mar Aral, na altura parte da Pérsia ocupada pelo Árabes (atualmente parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833).

Al-Khwarizmi escreveu tratados sobre aritmética, álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. É possível que tenha escrito um tratado sobre o astrolábio e outro sobre relógios de sol, mas estes dois últimos não chegaram aos nossos dias. Tanto o tratado sobre a aritmética como o sobre a álgebra constituíram o ponto de partida para trabalhos posteriores e exerceram uma forte influência no desenvolvimento da matemática, principalmente da aritmética e da álgebra.

A versão original do pequeno tratado de aritmética de Al-Khwarizmi encontra-se perdida, mas este chegou a Espanha e existem traduções, do século XII, para latim. No seu texto al-Khwarizmi introduz os nove símbolos indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero. Depois explica como escrever um número no sistema decimal de posição utilizando os 10 símbolos. Descreve as operações de cálculo (adição, subtração, divisão e a multiplicação) segundo o método indiano e explica a extração da raiz quadrada. Depois do cálculo com números inteiros, aborda o cálculo com frações (expressando-as como a soma de frações unitárias).

De acordo com Youschkevitch, existem três textos, em latim, do século XII, que podem ser traduções do tratado de aritmética de al-Khwarizmi. O Liber Algorismi de pratica arismetrice (o Livro de Algorismi sobre a aritmética prática), escrito por João de Sevilha (ou de Todelo), um judeu espanhol convertido ao catolicismo que trabalhou em Todelo de 1135 a 1153. O Liber Ysagogarum Alchorismi in artem astronomicam (Introdução de Algorismi sobre a arte da astronomia), do qual se conhecem várias cópias, uma datada de 1143. Não se sabe quem terá sido o seu autor se o inglês Adelardus de Bada, ou Bath (que pertencia à escola de Toledo), ou de Robert de Cherter, também inglês. Youschkevitch, refere, ainda, uma outra tradução, do século XIII, sem título, que se encontra na Biblioteca da Universidade de Cambridge, publicada por Boncompagni, em 1857, com o título Algoritmi de numero indorum e que inicia com as palavras Dixit Algorismi (ou seja, Algorismi disse).
A palavra algorismi é portanto a versão latina do nome al-Khwarizmi e que derivou na palavra algoritmo.

O tratado de álgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830 e tem o título Hisab al-jabr w'al-muqabala, uma possível tradução seria o cálculo por completação (ou restauração) e redução. Al-jabr é a operação que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equação de forma a eliminar os termos com coeficiente negativo e al-muqabala a operação que se faz de seguida e que consiste em adicionar os termos semelhantes.

Al-Khwarizmi diz-nos, na introdução da sua álgebra, com o título, que o califa al-Mamum o encorajou a escrever um pequeno trabalho sobre o cálculo pelas regras de completação e redução, confinando-o ao que é mais simples e mais útil na aritmética, tais como as que os homens constantemente necessitam no caso das heranças, partilhas, processos judiciais, e comércio, e em todas os seus negócios com outros, ou quando a medição de terras, a escavação de canais, cálculos geométricos, e outros coisas de várias espécies e tipos estão envolvidos.

O seu livro é composto por três partes. A primeira sobre a álgebra, que precede um breve capítulo sobre os transações comerciais; a segunda sobre a geometria e a terceira parte sobre as questões de heranças. No seu livro Al-Khwarizmi não usa qualquer símbolo, nem sequer os símbolos que descreverá posteriormente na sua aritmética.

O livro foi, também, traduzido para latim, no século XII, mas essas traduções não incluíam a segunda e a terceira partes. Robert de Chester, na sua tradução para latim, de 1140, traduz o tratado de álgebra de al-Khwarizmi com título Liber algebrae et almucabala, portanto álgebra deriva da tradução latina de al-jarb.